陈 省 身 演 讲:中 国 的 数 学
美 籍 华 裔 数 学 家、 中 国 南 开 大 学 数 学 研 究 所 所 长 陈 省 身 教 授, 在 庆 祝 自 然 科 学 基 金 制 设 立 15 周 年 和 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 成 立 10 周 年 之 际, 以 《中 国 的 数 学》 为 题 发 表 讲 演。

以 下 是 这 篇 演 讲 的 全 文, 特 此 刊 出, 以 飨 读 者。

中 国 的 数 学

几 件 数 学 新 闻 和 对 于 中 国 数 学 的 一 些 看 法

陈 省 身

张 存 浩 先 生 要 我 讲 点 数 学, 这 么 短 的 时 间, 而 数 学 这 么 大, 只 好 举 几 个 要 点 谈 谈。 数 学 是 什 么? 数 学 是 根 据 某 些 假 设, 用 逻 辑 的 推 理 得 到 结 论, 因 为 用 这 么 简 单 的 方 法, 所 以 数 学 是 一 门 坚 固 的 科 学, 它 得 到 的 结 论 是 很 有 效 的。 这 样 的 结 论 自 然 对 学 问 的 各 方 面 都 很 有 应 用, 不 过 有 一 点 很 奇 怪 的, 就 是 这 种 应 用 的 范 围 非 常 大。 最 初 你 用 几 个 数 或 画 几 个 图 就 得 到 的 一 些 结 论, 而 由 此 引 起 的 发 展 却 常 常 令 人 难 以 想 象。 在 这 个 发 展 过 程 中, 我 认 为 不 仅 在 数 学 上 最 重 要, 而 且 在 人 类 文 化 史 上 也 非 常 突 出 的 就 是 Euclid 的 《几 何 原 本》。 这 是 第 一 本 系 统 性 的 书, 主 要 的 目 的 是 研 究 空 间 的 性 质。 这 些 性 质 都 可 以 从 很 简 单 的 公 理 用 逻 辑 的 推 理 得 到。 这 是 一 本 关 于 整 个 数 学 的 书, 不 仅 仅 限 于 几 何 学。 例 如, Euclid 书 上 首 先 证 明 素 数 的 个 数 是 无 穷 的, 这 便 是 一 个 算 术 的 结 论。 随 着 推 理 的 复 杂 化, 便 有 许 多 "深 刻" 的 定 理, 需 要 很 长 的 证 明。 例 如, 有 些 解 析 数 论 定 理 的 证 明, 便 需 几 十 条 引 理。 最 初, 用 简 单 的 方 法 证 明 几 个 结 果, 大 家 很 欣 赏, 也 很 重 要。 后 来 方 法 发 展 了, 便 产 生 很 复 杂 的 推 理, 有 些 定 理 需 要 几 十 页 才 能 证 明。 现 在 有 的 结 果 的 证 明 甚 至 上 百 页, 上 千 页。 看 到 这 么 复 杂 的 证 明, 我 们 固 然 惊 叹 某 些 数 学 家 高 超 的 技 巧 和 深 厚 的 功 力, 但 心 中 难 免 产 生 一 些 疑 问, 甚 或 有 些 无 所 适 从 的 感 觉。 所 以 我 想, 日 后 数 学 的 重 要 进 展, 在 于 引 进 观 念, 使 问 题 简 化。

先 讲 讲 有 限 单 群 的 问 题。

1. 有 限 单 群

我 们 知 道, 数 学 的 发 展 中 有 一 个 基 本 观 念 -- 群。 群 也 是 数 学 之 中 各 方 面 的 最 基 本 的 观 念。 怎 样 研 究 群 的 结 构 呢? 最 简 单 的 方 法 是 讨 论 它 的 子 群, 再 由 小 的 群 的 结 构 慢 慢 构 造 大 一 些 的 群。 群 中 最 重 要 的 一 种 群 是 有 限 群, 而 有 限 群 是 一 个 难 极 了 的 题 目, 需 要 有 特 别 的 方 法, 特 别 的 观 念 去 研 究。

命 G 为 群, g ∈ G 为 一 子 群, 如 对 任 何 g ∈ G, g -1 H g ∈ H, 则 称 H 为 正 规 的 (normal)。 正 规 子 群 存 在, 可 使 G 的 研 究 变 为 子 群 H 及 商 群 G / H 的 研 究。 这 样 就 有 一 个 很 自 然 的 问 题, 有 哪 些 有 限 的 单 群 (simple group)? 单 群 除 了 它 自 己 和 单 位 元 (identity) 之 外, 没 有 其 他 的 非 平 凡 的 正 规 子 群 (normal subgroup)。 数 学 上 称 其 为 简 单 群, 其 实 一 点 也 不 简 单。

有 限 群 论 的 一 个 深 刻 的 定 理 是 Fei-Thompson 定 理: 非 交 换 单 群 的 阶 (数) (即 群 中 元 素 的 个 数) 是 偶 数。 更 不 寻 常 的 是 除 了 某 些 大 类 (素 数 阶 循 环 群 Zp, 交 错 群 An (n>=5), Lie 型 单 群) 外, 后 来 发 现 了 26 个 零 零 碎 碎 的 有 限 单 群 (散 在 单 群, 离 散 单 群), 现 在 知 道, 最 大 的 散 在 单 群 的 阶 是

241 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 41 47 59 71 = 808,017.. = 1054

这 是 很 大 的 单 群, 由 B. Fisher 和 R. L. Griess 两 位 数 学 家 所 发 现, 数 学 家 称 它 为 魔 群 (怪 物, Monster)。

单 群 的 权 威 数 学 家 D. Gorenstein 相 信 有 限 单 群 都 在 这 里 了, 这 当 然 是 数 学 上 一 个 很 好 的 结 果。 把 单 群 都 确 定 了, 就 像 化 学 家 把 元 素 都 确 定 了, 物 理 学 家 把 核 子 的 结 构 都 确 定 了 一 样。 可 这 里 有 个 缺 点, Gorenstein 并 未 将 证 明 定 出 来。 他 讲 若 将 证 明 写 出 来 至 少 有 1,000 页, 而 1,000 页 的 证 明 无 论 如 何 很 容 易 有 错 误。 可 是 Gorenstein 又 说, 不 要 紧, 若 有 错 误, 这 个 错 误 一 定 可 以 补 救。 你 相 信 不 相 信? 数 学 界 有 些 人 怀 疑 这 样 的 证 明 是 否 必 要。 现 在 计 算 机 的 出 现, 许 多 问 题 可 以 验 证 到 很 大 的 数, 是 否 还 需 要 严 格 的 证 明, 已 变 成 数 学 上 一 个 有 争 论 的 问 题。 这 个 争 论 看 来 一 时 无 法 解 决。 段 学 复 先 生 是 我 的 老 朋 友, 是 有 限 群 论 的 专 家, 也 许 我 们 可 以 问 一 下 他 的 意 见。 我 个 人 觉 得 这 个 问 题 很 难 回 答。 不 过 数 学 家 有 个 自 由, 当 你 不 能 做 或 不 喜 欢 做 一 个 问 题 时, 你 完 全 不 必 投 入, 你 只 需 做 一 些 你 能 做 或 喜 欢 做 的 问 题。

2. 四 色 问 题

把 地 图 着 色, 使 得 邻 国 有 不 同 的 颜 色, 需 要 几 种 颜 色? 经 验 告 诉 我 们, 四 色 够 了。 但 是 严 格 的 证 明 极 难。 这 就 是 有 各 的 四 色 问 题。

地 图 不 一 定 在 球 面 上, 也 可 在 亏 格 高 的 的 曲 面 上 (一 个 亏 格 高 为 g 的 曲 面 在 拓 扑 上 讲 是 球 面 加 g 个 把 手; 亏 格 为 1 的 曲 面 可 设 想 为 环 面)。 可 惊 奇 的 是, 这 个 着 色 问 题, 对 于 g>=1 的 曲 面 完 全 解 决 了。 可 以 证 明: 有 整 数 χ (g), 满 足 条 件: 在 亏 格 为 g 的 曲 面 上 任 何 地 图 都 可 用 χ (g) 种 颜 色 着 色, 使 邻 国 有 不 同 颜 色, 且 有 地 图 至 少 需 要 χ (g) 种 颜 色。 这 个 数 在 g>=1 时 可 以 完 全 确 定。 我 们 知 道 χ (1) = 7, 即 环 面 上 的 地 图 可 用 七 色 着 色, 四 色 不 够。

令 人 费 解 的 是, 证 明 地 球 上 四 色 定 理, 困 难 多 了。 现 有 的 证 明, 需 要 计 算 机 的 帮 助, 与 传 统 的 证 明 不 同。 而 我 们 觉 得 最 简 单 的 情 况, 即 我 们 住 的 地 球 球 面 上 的 着 色 问 题 反 而 特 别 复 杂。 把 扩 充 的 问 题 解 决 了, 得 到 了 很 有 意 思 的 结 论。 但 是 回 到 基 本 问 题, 反 而 更 难。 这 种 现 象 不 止 这 一 个, 还 有 很 多, 一 个 例 子 是 所 谓 的 低 维 拓 扑, 即 推 广 的 问 题 更 简 单, 而 本 身 核 心 的 问 题 反 而 不 易 克 服, 这 确 是 数 学 神 秘 性 的 一 面。

3. 椭 圆 曲 线

最 近 的 数 学 进 展, 最 受 人 注 意 的 结 果 就 是 Fermat 大 定 理 的 证 明。 Fermat 大 定 理 说: 方 程 式
xn + yn = zn , n > 2

没 有 非 平 凡 的 整 数 解 (即 x y z < > 0)。 这 个 传 说 了 300 年 的 结 果 的 证 明, 最 近 由 Princeton 大 学 的 教 授 Andrew J. Wiles (英 国 数 学 家) 给 出。 但 证 明 中 缺 一 段, 是 由 他 的 学 生 Richard Taylor 补 充 的。 因 此, Fermat 定 理 现 在 已 经 有 了 一 个 完 全 的 证 明。 整 个 文 章 发 表 在 最 近 一 期 的 "Annuals of Mathematics" (Princeton 大 学 杂 志, 1996, 第 一 期), 整 个 一 期 登 的 是 Wiles 与 Taylor 的 论 文, 证 明 Fermat 定 理 (Wiles 为 此 同 Robert Langlands 获 得 了 1996 年 的 Wolf 奖 与 National Academy Science Award in Mathematics)。

有 意 思 的 是, 证 明 这 个 定 理 的 关 键 是 椭 圆 曲 线。 这 是 代 数 数 论 的 一 个 分 支。 有 以 下 一 则 故 事: 英 国 的 大 数 学 家 G. H. Hardy (1877-1947) 有 一 天 去 医 院 探 望 他 的 朋 友, 印 度 天 才 数 学 家 S. A. Ramanujan (1887-1920)。 Hardy 的 汽 车 号 是 1729。 他 向 Ramanujan 说, 这 个 数 目 没 有 意 思。 Ramanujan 说, 不 然, 这 是 可 以 用 两 种 不 同 方 法 写 为 2 个 立 方 之 和 的 最 小 的 数, 如
1729 = 13+ 123 = 93 + 103

这 结 果 可 用 椭 圆 曲 线 论 来 证 明。

我 们 知 道, 要 找 一 个 一 般 方 程 的 解 不 容 易 的, 而 要 找 一 个 系 数 为 整 数 的 多 项 式 方 程
P (x, y) = 0

(传 统 上 叫 Diophantine 方 程) 的 整 数 解 更 困 难。 因 为 普 通 的 解 不 会 是 整 数, 这 是 数 论 中 的 一 个 主 要 问 题。

需 要 说 明 的, 在 Wiles 完 成 这 个 证 明 之 前, 我 有 一 位 在 Berkley 的 朋 友 Kenneth A. Ribet, 他 有 重 要 的 贡 献。 他 证 明 了 一 日 本 数 学 家 Yutaka Taniyama 的 某 一 个 关 于 椭 圆 曲 线 的 假 设 包 含 Fermat 定 理。 于 是 可 将 Fermat 定 理 变 为 一 个 关 于 椭 圆 曲 线 的 定 理。 Wiles 根 据 Ribet 的 结 果 又 继 续 经 过 了 许 多 步 骤, 以 至 达 到 最 后 的 证 明。 即 在 复 平 面 内 得 到 曲 线。 由 复 变 函 数 论 知 道, 复 平 面 内 的 曲 线 就 成 为 一 个 Riemann 曲 面。 Riemann 曲 面 为 定 向 曲 面, 它 可 以 是 球, 也 可 以 是 球 加 上 好 多 把 手。 其 中 有 一 个 最 简 单 的 情 形, 就 是 一 个 球 加 上 一 个 把 手, 即 一 个 环 面。 环 面 是 个 群, 且 为 可 交 换 群。 所 谓 椭 圆 曲 线, 就 是 把 这 个 曲 线 看 成 复 平 面 内 亏 格 (genus) 等 于 1 的 复 曲 线。 亏 格 等 于 1 的 曲 线 有 一 个 非 常 深 刻 而 巧 妙 的 性 质。 即 它 上 面 的 点 有 一 个 可 交 换 群 的 构 造。 两 个 点 可 以 加 起 来, 且 有 群 的 性 质。 这 是 很 重 要 的 性 质。 椭 圆 曲 线 与 椭 圆 无 关。 原 因 是, 若 所 有 曲 线 的 亏 格 大 于 1, 相 当 于 Riemann 曲 面 有 一 个 Poincare 度 量, 它 的 曲 率 等 于 1, 所 有 曲 面 若 其 曲 率 等 于 - 1, 则 叫 做 双 曲 的。 亏 格 等 于 1 的 叫 椭 圆。 亏 格 等 于 0 的 叫 抛 物 线。 椭 圆 曲 线 的 研 究 是 数 论 中 非 常 重 要、 非 常 有 意 思 的 方 面。 最 近 一 期 的 科 学 杂 志 (Science), 有 位 先 生 写 了 一 篇 关 于 椭 圆 曲 线 的 文 章。 椭 圆 曲 线 在 电 报 的 密 码 上 有 应 用。 而 中 国 也 有 很 多 人 在 做 代 数 几 何 与 代 数 数 论 方 面 的 工 作。 最 近 在 黄 山 有 一 个 国 际 性 的、 题 为 "代 数 几 何 与 代 数 数 论" 的 会 议, 由 冯 克 勤 先 生 主 持。

从 这 个 定 理 我 们 应 认 识 到: 高 深 的 数 学 是 必 要 的。 Fermat 定 理 的 结 论 虽 然 简 单, 但 它 蕴 藏 着 许 多 数 学 的 关 系, 远 远 超 出 结 论 中 的 数 学 观 念。 这 些 关 系 日 新 月 异, 十 分 神 妙, 学 问 之 奥, 令 人 拜 赏。

我 相 信, Fermat 定 理 不 能 用 初 等 方 法 证 明, 这 种 努 力 是 徒 劳 的。 数 学 是 一 个 整 体, 一 定 要 吸 取 几 千 年 所 有 的 进 步。

4. 拓 扑 与 量 子 场 论

1995 年 初 的 一 天 晚 上, 我 在 家 看 晚 间 电 视 新 闻。 突 然, 我 听 到 自 己 的 名 字, 大 吃 一 惊。 原 来 加 利 福 尼 亚 发 一 种 彩 票, 头 彩 300 万 美 元, 若 无 人 中 彩 的 话, 可 以 积 累 到 下 一 次 抽 彩。 我 从 前 的 一 个 学 生, 名 Robert Uomini, 中 了 头 彩 美 金 2,200 万 元。 他 曾 选 过 我 的 本 科 课, 当 时 还 对 微 分 几 何 很 有 兴 趣。 他 很 念 旧, 以 100 万 美 元 捐 赠 加 州 大 学, 设 立 "陈 省 身 讲 座"。 学 校 决 定, 以 此 讲 座 邀 请 名 学 者 为 访 问 教 授。 第 一 位 应 邀 的 为 英 国 数 学 家 Sir Michael Atiyah。 他 到 中 国 不 止 一 次。 他 是 英 国 影 响 最 大 的 数 学 家, 剑 桥 大 学 三 一 学 院 的 院 长, 卸 任 的 英 国 皇 家 协 会 会 长。 Atiyah 很 会 讲 学, 也 很 博 学, 他 的 报 告 有 很 大 的 吸 引 力。 他 作 了 八 讲, 讲 题 是 "拓 扑 与 量 子 场 论"。

这 是 当 前 一 个 热 门 的 课 题, 把 高 深 的 数 学 和 物 理 联 系 起 来 了, 导 出 了 深 刻 的 结 果。 现 在 拓 扑 在 物 理 上 有 非 常 重 要 的 应 用, 这 跟 杨 振 宁 的 Yang-Mills 场 方 程 有 很 密 切 的 关 系。 杨 先 生 喜 欢 说, 你 们 数 学 家 写 的 东 西, 我 们 学 物 理 的 人 看 不 懂, 等 于 另 外 一 种 文 字。 我 想 我 们 搞 数 学 的 人 有 责 任 把 我 们 的 结 果, 写 成 不 是 本 行 的 人 也 至 少 知 道 你 讲 的 是 怎 么 一 回 事。 物 理 学、 量 子 力 学, 尤 其 是 量 子 场 论 与 数 学 的 关 系 其 实 并 不 复 杂。 说 到 数 学 的 应 用, 讲 一 下 矢 量 空 间, Euclid 空 间 就 是 一 个 矢 量 空 间。 再 进 一 步, 多 个 矢 量 空 间 构 成 一 个 拓 扑 空 间, 这 就 是 所 谓 的 矢 量 丛, 即 一 束 这 样 的 空 间。 这 样 的 空 间 有 一 些 简 单 的 性 质。 比 如 说, 局 部 来 讲, 这 种 矢 量 空 间 是 一 个 chart, 是 一 个 集, 可 用 坐 标 来 表 示。 结 果 发 现 矢 量 丛 这 种 空 间 在 物 理 上 很 有 用。 物 理 学 的 一 个 基 本 观 念 是 "场"。 最 简 单 的 场 是 电 磁 场, 尤 为 近 代 生 活 的 一 部 分。 电 磁 场 的 "势" 适 合 Maxwell 方 程。 Hermann Weyl 第 一 个 看 出 这 个 势 不 是 一 个 确 定 的 函 数。 它 可 以 变 化。 这 在 物 理 上 叫 做 规 范 (gauge, 不 完 全 确 定 的, 可 以 变 化 的), 这 就 是 物 理 上 规 范 场 论 的 第 一 个 情 形。

物 理 上 有 4 种 场: 电 磁 场、 引 力 场、 强 作 用 场 和 弱 作 用 场。 现 在 知 道, 这 些 场 都 是 规 范 场。 即 数 学 系 上 是 一 束 矢 量 空 间, 用 一 个 线 性 群 来 缝 住 的。 电 磁 场 的 重 要 推 广, 是 Yang-Mills 的 规 范 场 论。 杨 先 生 的 伟 大 贡 献 就 是 在 SU(2) (special unitary group in two variables) 情 形 下 得 到 物 理 意 义 明 确 的 规 范 场, 即 同 位 旋 (isospin) 规 范 场, 这 种 将 数 学 现 象 给 以 物 理 的 解 释, 是 件 了 不 起 的 工 作, 因 为 以 往 的 Maxwell 场 论 是 一 个 可 交 换 的 群。 现 在 变 为 在 SU(2), 群 是 不 能 交 换 的。 而 实 际 上, 物 理 中 找 到 了 这 样 的 场, 这 是 科 学 上 一 个 伟 大 的 发 展。 数 学 家 可 以 自 豪 的 是, 物 理 学 家 所 需 的 几 何 观 念 和 工 具, 在 数 学 上 已 经 发 展 了。

杨 先 生 之 所 以 有 这 么 大 的 成 就, 其 中 一 个 很 重 要 的、 很 了 不 起 的 原 因 是 除 了 物 理 的 感 觉 以 外, 他 有 很 坚 实 的 数 学 基 础。 他 能 够 在 这 大 堆 复 杂 的 方 程 中 看 出 某 些 规 律, 它 们 具 有 某 种 基 本 的 数 学 性 质。 Yang-Mills 方 程 的 数 学 基 础 是 纤 维 丛。 这 种 观 念 Dirac 就 曾 有 过。 Dirac 的 一 篇 基 本 论 文 中 就 讲 到 这 种 数 学。 但 Dirac 没 有 数 学 的 工 具。 所 以 他 在 讲 这 种 观 念 时, 不 但 数 学 家 不 懂, 就 连 物 理 学 家 也 不 懂。 不 过, 其 中 有 一 个 到 现 在 还 未 解 决 的 物 理 含 义, 即 有 否 磁 单 极 (magnetic monople)。 可 能 会 有。 就 是 说, 有 否 这 样 的 场, 它 的 曲 率 不 等 于 0 (曲 率 是 度 量 场 的 复 杂 性 的)? 物 理 上 要 是 发 现 了 这 种 场, 会 是 件 不 得 了 的 事 实。 这 些 观 念 的 数 学 不 简 单。

Yang-Mills 方 程 反 过 来 影 响 到 拓 扑。 现 在 的 基 础 数 学 中, 所 谓 低 维 拓 扑 (二 维, 三 维, 四 维) 非 常 受 人 注 意。 因 为 物 理 空 间 是 四 维 空 间。 而 四 维 空 间 有 许 多 奇 妙 的 性 质。 我 们 知 道 代 数 几 何、 曲 线 论、 复 变 函 数 论 等 许 多 基 础 数 学 理 论 是 二 维 拓 扑。 而 现 在 必 到 四 维, 四 维 有 spinor 理 论, 有 quantum 结 构。 四 维 与 物 理 更 接 近。 它 的 结 构 是 Lorentz 结 构, 而 不 是 Riemann 结 构。 这 方 面 有 很 多 工 作 可 做。 根 据 Yang-Mills 方 程, 对 于 四 维 拓 扑, Atiyah 的 学 生 英 国 数 学 家 Simon Donaldson 有 很 重 要 的 贡 献。 其 中 有 一 个 结 果 就 是 利 用 Yang-Mills 方 程 证 明 四 维 Euclid 空 间 R4 有 无 数 微 分 结 构 与 其 标 准 结 构 不 同。 这 一 结 果 最 近 又 由 Seiberg-Witten 的 新 方 程 大 大 的 简 化 了。 这 是 最 近 拓 扑 在 微 分 几 何、 理 论 物 理 应 用 方 面 最 引 人 注 意 的 进 展。

二 维 流 形 的 发 展 有 一 段 光 荣 的 历 史, 牵 涉 到 许 多 深 刻 的 数 学, 可 以 断 言, 三 维、 四 维 流 形 将 更 为 丰 富 和 神 妙。

5. 球 装 问 题 (Sphere Packing)

如 何 把 一 定 的 空 间 装 得 最 紧, 显 然 是 一 个 实 际 而 重 要 的 问 题。 项 武 义 教 授 最 近 在 这 方 面 做 了 很 重 要 的 工 作。 这 里 先 介 绍 一 个 有 关 的 问 题: 围 着 一 个 球, 可 以 放 几 个 同 样 大 小 的 球? 我 们 不 妨 假 定 球 的 半 径 为 一, 即 单 位 球。 在 平 面 情 形, 绕 一 单 位 圆 我 们 显 然 可 以 放 6 个 单 位 圆。 而 在 三 维 空 间 的 情 况 则 更 为 复 杂。 如 果 把 单 位 球 绕 单 位 球 相 切, 不 难 证 明, 12 个 球 是 放 得 进 的。 这 时 虽 然 还 剩 下 许 多 空 间, 但 不 可 能 放 进 第 13 个 球。 要 证 明 这 一 结 论 并 不 容 易。 当 年 Newton 与 Gregory 有 个 讨 论。 Newton 说 第 13 个 球 装 不 进, Gregory 说 也 许 可 以。 这 个 争 论 长 期 悬 而 未 决。 一 直 到 1953 年, K. Schutte 和 B. L. van der Waerden 才 给 了 一 个 证 明。 这 个 证 明 是 很 复 杂 的。

一 个 更 自 然 的 问 题 是 怎 样 把 一 个 立 方 体 空 间 用 大 小 相 同 的 球 装 得 最 紧。 衡 量 装 得 是 否 紧 凑 的 尺 度 是 密 度 (density), 即 所 装 的 球 的 总 的 体 积 和 立 方 体 空 间 的 体 积 的 比 例。 Kepler 于 1611 年 提 出 了 一 个 猜 想: 他 认 为 立 方 体 的 球 装 的 密 度 不 会 大 于 π / (18^1/2)。 项 武 义 说 他 证 明 了 这 个 猜 想。 可 是 有 人 (Gabor Fejes Toth) 认 为 他 的 证 明 不 完 全, 甚 至 有 人 (Thomas L. Hales) 说 是 错 误 的。 "Mathematical Intelligencer" 这 个 杂 志 上 (1995 年), 有 关 于 这 一 问 题 的 讨 论, 项 武 义 有 个 答 复。 Toth 是 匈 牙 利 数 学 家, 三 代 人 搞 同 一 个 课 题。 匈 牙 利 数 学 很 发 达, 在 首 都 布 达 佩 斯 有 个 200 多 人 的 几 何 研 究 所。 我 不 知 道 几 何 中 是 否 有 这 么 多 重 要 的 问 题 需 要 这 么 多 人 去 做。 最 年 轻 的 Toth 在 "Mathematics Reviews" 中 有 篇 关 于 项 的 文 章 的 评 论。 他 说 项 的 文 章 有 些 定 理 没 有 详 细 的 证 明。 天 下 的 事 情 就 是 这 样。 做 重 要 工 作 有 争 议 的 时 候, 便 产 生 一 些 有 趣 的 现 象。 不 过 他 觉 得 项 的 意 思 是 对 的。 不 但 项 的 意 思 是 对 的, 甚 至 表 示 这 个 意 思 他 从 前 也 有。 最 近 项 武 义 抒 他 认 为 没 有 的 证 明 都 有 写 出 来 了。

最 主 要 的, 我 要 跟 大 家 说 的 是 立 体 几 何 在 数 学 中 是 很 重 要 而 因 难 的 部 分。 即 使 平 面 几 何 也 可 能 很 难。 到 了 立 体 时, 则 更 为 复 杂。 近 年 来 对 碳 60 (C60) 的 研 究 显 示 了 几 何 在 化 学 中 的 应 用。 多 面 体 图 形 的 几 何 性 质 对 固 态 物 理 也 有 重 大 的 作 用。 球 装 不 过 是 立 体 几 何 的 一 个 问 题。 立 体 几 何 是 大 有 前 途 的。

6. Finsler 几 何

最 近 经 我 鼓 励, Finsler 几 何 有 重 大 发 展, 作 简 要 报 告 如 次:

在 (x,y) 平 面 上 设 积 分

S = F (x, y, dy / dx) dx

其 中 y 是 x 的 未 知 函 数。 求 这 个 积 分 的 极 小 值, 就 是 第 一 个 变 分 学 的 问 题。 称 积 分 s 为 弧 长, 把 观 念 几 何 化, 即 得 Finsler 几 何。

Gauss 看 出, 在 特 别 情 形:

F2= E (x, y) + 2F (x, y) y' + G (x,y) y' 2, y' = dy / dx

其 中 E、 F、 G 为 x, y 的 函 数, 几 何 性 质 特 别 简 单。 1854 年, Riemann 的 讲 演 讨 论 了 整 个 情 形, 创 立 了 Riemann-Finsler 几 何。 百 余 年 来, Riemann 几 何 在 物 理 中 有 重 要 的 应 用, 而 整 体 Riemann 几 何 的 发 展 更 是 近 代 数 学 的 核 心 部 分。

Riemann 的 几 何 基 础 包 含 Finsler 几 何。 我 们 最 近 几 年 的 工 作, 把 Riemann 几 何 的 发 展, 局 部 的 和 整 体 的, 完 全 推 广 到 Finsler 几 何, 而 且 很 简 单。 因 此, 我 觉 得 以 后 的 微 分 几 何 课 或 Riemann 几 何 课 都 应 该 讲 一 般 情 形。 最 近 有 几 个 拓 扑 问 题。 最 主 要 的 一 个 是 Riemann 流 形 的 一 个 重 要 性 质, 即 英 国 数 学 家 Hodge 的 调 和 积 分。 现 在 有 2 个 年 轻 人, 一 个 是 David Bao, 另 一 个 是 他 的 美 国 学 生, 抒 这 个 Hodge 的 调 和 积 分 推 广 到 了 Finsler 情 形。 这 将 是 微 分 几 何 的 一 块 新 园 地, 预 料 前 景 无 限。 1995 年 夏 在 美 国 西 雅 图 有 一 Finsler 几 何 的 国 际 会 议。 其 论 文 集 已 于 今 年 由 美 国 数 学 会 出 版。

Finsler 几 何 在 1900 年 有 名 的 Hilbert 演 讲 中 是 第 23 个 问 题。

7. 中 国 的 数 学

数 学 研 究 的 最 高 标 准 是 创 造 性: 要 达 到 前 人 未 到 的 境 界, 要 找 着 最 深 刻 的 关 键。 从 另 一 点 看, 数 学 的 范 围 是 无 垠 的。 我 愿 借 此 机 会 介 绍 一 下 科 学 出 版 社 从 俄 文 翻 译 的 《数 学 百 科 全 书》, 全 书 5 大 卷, 每 卷 约 千 页。 中 国 能 出 版 这 样 的 巨 著, 即 使 是 翻 译, 也 是 一 项 可 喜 的 成 就。 这 是 一 部 十 分 完 备 的 百 科 全 书, 值 得 赞 扬 的。

对 着 如 此 的 学 问 大 海, 入 门 必 须 领 导, 便 需 要 权 威 性 的 学 校 和 研 究 所。 数 学 是 活 的, 不 断 有 杰 出 的 贡 献, 令 人 赞 赏 佩 服。 但 一 个 国 家, 比 较 可 以 集 中 某 些 方 面, 不 必 完 全 赶 时 髦。 当 年 芬 兰 的 复 变 函 数 论, 波 兰 的 纯 粹 数 学, 都 是 专 精 一 门 而 有 成 就 的 例 子。 中 国 应 该 发 展 实 力 较 强 的 方 面。 但 由 百 科 全 书 的 例 子, 可 看 出 中 国 的 数 学 是 全 面 的。 这 是 一 个 可 喜 的 现 象。

中 国 的 财 富 在 "人 民"。 中 国 的 数 学 政 策, 除 了 鼓 励 尖 端 的 研 究 以 外, 应 该 用 来 提 高 一 般 的 数 学 水 平。 我 有 两 个 建 议: (1) 设 立 数 学 讲 座, 待 遇 从 优, 其 资 格 可 能 是 对 数 学 发 展 有 重 大 贡 献 的 人; (2) 设 立 新 的 数 学 中 心, 似 乎 成 都、 西 安、 广 州 都 是 可 能 的 地 点。 中 心 应 有 相 当 的 经 费, 部 分 可 由 地 方 负 担, 或 私 人 筹 措。

近 年 因 为 国 家 开 放, 年 轻 人 都 想 经 商 赚 钱, 当 然 国 家 社 会 需 要 这 样 的 人。 但 是 做 科 学 的 乐 趣 是 一 般 不 能 理 解 的。 在 科 学 上 做 了 基 本 的 贡 献, 有 历 史 的 意 义。 我 想 对 于 许 多 人, 这 是 一 项 了 不 得 的 成 就。 在 岗 位 上 专 心 学 问, 提 携 后 进, "得 天 下 之 英 才 而 教 育 之", 应 该 是 十 分 愉 快 的 事 情。

一 个 实 际 的 问 题, 是 个 人 应 否 读 数 学。 Hardy 说, 一 个 条 件 是 看 你 是 否 比 老 师 强。 这 也 许 太 强 一 些。 我 想 学 习 应 不 觉 困 难, 读 名 著 能 很 快 与 作 者 联 系, 都 是 测 验。 数 学 是 小 科 学, 可 以 关 起 门 来 做。 在 一 个 多 面 竞 争 的 社 会 中, 是 一 项 有 优 点 的 职 业, 即 使 你 有 若 干 能 力。

中 国 的 数 学 有 相 当 水 平。 近 年 来 政 治 多 变, 达 此 情 况, 足 风 中 华 民 族 的 勤 劳 本 质。 从 前 一 个 数 学 家 的 最 高 标 准, 是 从 国 外 名 大 学 获 得 博 士 学 位。 我 们 国 家 现 在 所 必 需 做 的, 是 充 实 各 大 学 的 研 究 院, 充 实 博 士 学 位, 人 才 由 自 己 训 练。


致 谢本 文 承 葛 墨 林、 陈 永 川 教 授 帮 助 整 理, 特 此 致 谢。

返 回“名 人 言 谈”